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Qu'est-ce qu'une équation? La question est lancée à la cantonade. -Ha non pas ça! -Une quoi? -C'est des trucs avec des x. Voilà ce que l'on entend dans la classe, alors on se raccroche à ce qui peut éventuellement constituer un point de départ. Je m'adresse à celui qui a dit des trucs avec des x, trois rangs devant moi sur la gauche. -Alors tu dis des trucs avec des x, tu peux donner un exemple? -Heu.. 5x + 4 = 3x - 2. -Très bien! ( Je note l'égalité au tableau ) Bon, et qu'est ce qu'on en fait maintenant. -On met les x d'un côté et les chiffres de l'autre. -On peut faire comme ça si vous voulez. Mais je n'aime pas bien, je vous expliquerais pourquoi plus tard. Donc je vous montre ma façon : Donc le 3x et le -2 passent de l'autre côté, en changeant de signe. (je n'aime pas ça non plus, je dirais plutôt qu'ils changent d'opération,) ça donne : 5x + 4 - 3x + 2 = 0 On additionne ce qui peut s'additionner, les x avec les x et les nombres seuls avec les nombres seuls, on dit qu'on réduit, et ça donne : 2x + 6 = 0 Vous remarquez, qu'on obtient une expression de la forme : ax+b = 0, c'est la forme générale d'une équation du premier degré, on dit aussi sa forme canonique. -Monsieur, c'est pas une fonction affine? -On va dire une équation affine, mais pour l'instant, on va retenir qu'une équation du premier degré (on n'a pas d'exposant sur le x) à une inconnue x, peut toujours se ramener à la forme : ax + b = 0. Donc résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue x, pour laquelle l'égalité s'annule. Passons le 6 de l'autre côté, il était dans une addition, il se retrouve dans une soustraction : 2x = -6 Et maintenant, si je veux connaître x, qu'est-ce que je fais? -On divise par -2. -Attention, tu es en es sûr? -Et bien oui, on passe le 2 de l'autre côté, et on change son signe. Attention, le 2 passe de l'autre côté, mais il était dans une multiplication, j'inverse donc l'opération, et il passe dans une division, tout en gardant son signe. x = -6/2 soit x = -3. Incrédulité dans l'assistance, je demande si quelqu'un sait comment faire pour vérifier ce résultat, silence! Bon, revenons à notre 2x = -6, si je remplace x par -3, ça donne : 2 X (-3) = -6, c'est juste, donc c'est bien : -3. -Ca va pas de problèmes? tout le monde sait le faire? -Bien sûr, c'est facile... Allons-y, je vous en donne trois à résoudre. -Monsieur, on n'est pas obligé de faire comme vous? On peut mettre les x d'un côté et le reste de l'autre directement? -Si vous voulez, mais vous verrez qu'il peut y avoir des problèmes en utilisant cette méthode.
-3(x + 3) - (5+3x) = -6
4(2x - 1) + (5 - 3x) = 5x - 2
6x - 3 = 3(2x - 1)
POUR CONCLURE : Voilà donc trois équations, qui n'ont rien d'extraordinaire, de banales égalités dans lesquelles la variable x peut-être mise en évidence sans grosses difficultés, tout du moins pour quelqu'un qui sort du collège. Et pourtant pour plus de 60% des élèves de BEPA, auxquels j'enseigne les mathématiques, l'affaire n'est pas aussi évidente. Si la première passe relativement bien, (sauf pour les élèves qui ont de grosses difficultés, souvent issus des sections technologiques, ils se débattent avec les nombres relatifs, la distributivité de la multiplication sur l'addition...) la seconde et la troisième, posent de sérieux problème. Le zéro, lorsqu'il pointe sa forme arrondie, et se place là dans toute sa rondeur, est un chiffre particulièrement inquiétant, qui renvoi souvent à l'impossibilité, l'erreur d'énoncé...(on retrouve le problème du zéro dans les domaines de définition des fonctions, où l'obtention de la valeur nulle est intempestivement interprétée comme impossible). Ne rien obtenir, ou plutôt obtenir "rien", c'est vraiment quelque chose qui dérange. On voit bien qu'au sortir du collège, les élèves que je retrouve en section BEP, ont une approche très mécanique des équations et tous utilisent les raccourcis qu'on leur a appris, sans en comprendre l'origine. Cependant, la tâche est difficile, trop expliquer, trop détailler, c'est courir le risque de perdre tout le monde, il faut souvent simplifier, au risque de faire des coupes franches dans la démarche scientifique. Mais lorsque l'occasion se présente, ne pas hésiter à faire quelques rappels. Le premier raccourci qu'utilisent les élèves, est : "Lorsqu'on passe un élément de l'autre côté de l'égalité, on inverse son signe." C'est pratique, mais c'est source d'erreurs, si l'on n'a pas compris d'où ça vient. En fait l'énoncé de base qui permet de résoudre une équation, est : "Lorsqu'on ajoute, retranche, divise ou multiplie les deux termes d'une égalité par la même valeur, l'égalité est conservée" Exemple : 5 = 5, donc 5-2 = 5-2. Résoudre un équation par cette méthode, devient un peu long, et expliquer ça aux élèves, c'est s'assurer dans laisser plus des trois quarts aux oubliettes. Exemple : 5x-3 = 6
Effectivement, la première étape consiste bien à prendre -3, inverser son signe, et le passer de l'autre côté, mais pour le 5 qui est multiplicateur, son signe ne s'inverse pas, or les solutions du type : x = 9/(-5), sont légions, et l'habitude est très forte. Donc il faut bien préciser que l'on inverse l'opération, et pas le signe, ce qui est multiplicateur, devient diviseur, ce qui est dans une addition passe dans une soustraction... etc... Le deuxième raccourci, consiste à :"Mettre les x d'un côté et le reste de l'autre". On comprend tout à fait la valeur pédagogique de cet énoncé, qui permet de simplifier la résolution, en évitant de passer un terme d'un côté, puis de le repasser de l'autre. Mais les élèves ne passent pas par la forme générale de l'équation du premier degré, qui est : ax+b = 0 Cela pose plusieurs problèmes, on l'a vu dans les trois exemples ci dessus. Tout d'abord ça ne permet pas de généraliser tous les cas en :
Ensuite ça pose de sérieux problèmes, si l'on veut mettre en évidence le signe de l'équation, là, le passage par la forme générale, est vraiment nécessaire. Mais ça c'est une autre histoire.
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