NOTIONS DE GRAPHES
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    Souvent à l'approche des vacances de Noël, il y a une ou deux heures de cours consacrées à des jeux mathématiques. C'est la fin du trimestre, le conseil de classe est passé, alors il est difficile de continuer comme si de rien n'était, une pause s'impose.

       Les réactions sont immédiates :

-C'est facile!

-Je connais ce truc on me la déjà fait!

-Passe moi une feuille!

-T'as pas une gomme?

    C'est parti, les maisons poussent comme des champignons sur le papier quadrillé arraché à la hâte dans le cahier de français. Et les architectes phosphorent. Et moi aussi d'ailleurs, parce que ça paraît simple au départ, mais juste au départ. Et ça donne à peut prés ceci :

 

 

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    Alors possible? Pas possible? Bon, à priori ce n'est pas possible, mais comment le prouver? Ces problèmes sont incongrus, on les trouve à l'école et pourtant ils n'ont rien à voir avec l'école. C'est un peu comme s'ils s'étaient faufilés discrètement par les coulisses. Et c'est un peu le cas d'ailleurs, un élève propose le dessin à un autre, lequel va s'évertuer à faire des traits de partout, voyant qu'il ne reste plus qu'une connexion à réaliser, il se dit qu'il va trouver, il cherche encore, convaincu d'être le génial inventeur de la solution, puis finalement se décourage et donne ça à un de ses collègues. Puis la rumeur s'installe, du style : 

-Il paraît que machin a trouvé.

-Tu parles, c'est impossible!

-Impossible t'es sûr?

-Et bien je crois, en fait on me l'a dit....

    Bref, pour l'enseignant que je suis, c'est parfaitement déroutant tout ça. Qui croire? Et sur quelle base? Un esprit scientifique ne peut se contenter d'une réponse du type : possible / impossible, sans que cela soit justifié, il faut des preuves, ou au moins des sources sûres.

    Et puis ici, rien à calculer, pas d'équation, de fonction, d'inéquation... bref rien de véritablement connu. Je l'avoue, ne sachant pas comment m'y prendre, j'abandonne mes recherches, sans pour autant oublier le problème. Et c'est par hasard qu'un jour je tombe sur un début de solution. Ce n'est pas la première fois que ça m'arrive d'ailleurs, mais c'est toujours assez fascinant, ça arrive comme ça, à l'improviste, au moment où l'on s'y attend le moins, de façon un peu brutale même.

    Donc je lisais "Je  me souviens" de Georges Pérec. En fait je cherchais des idées pour un spectacle de fin d'année, avec des élèves de BAC PRO. Et je tombe sur le souvenir N°292. Je le retranscris tel que :

 

N° 292

Je me souviens des heures que j'ai passées, en classe de troisième je crois, à essayer d'alimenter en eau, gaz et électricité, trois maisons, sans que les tuyaux se croisent (il n'y a pas de solution tant que l'on reste dans un espace à deux dimensions; c'est un des exemples élémentaires de la topologie, comme les ponts de Königsberg , ou le coloriage des cartes).

 

    Et là tout s'éclaire, ou presque, si Pérec dit que c'est impossible, on peut lui faire confiance, c'est très certainement le cas. C'est impossible d'accord, mais seulement dans un espace à deux dimensions, donc ça doit être possible sans un espace à trois dimensions. Je prends mes feuilles et mes crayons, et voilà ce que ça donne :

 

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    Bon, problème d'esthétique mis à part, ça marche, mais on n'est plus sur un espace à deux dimensions. Donc l'énigme reste entière : peut-on malgré tout alimenter les trois maisons sans croiser les canalisations, et ce dans un espace à deux dimensions? Pérec dit que non, certes, mais jusqu'ici aucune preuve. On touche là un des aspects fondamentaux des mathématiques, et des sciences d'une manière générale : il est plus difficile de prouver que quelque chose est impossible, plutôt que possible. Si c'est possible, on le fait et basta (quoique ça ne prouve pas que ça marche à chaque fois) mais si c'est impossible, il faut en être certain et là....(Inévitablement je pense au théorème Fermat, devenu théorème depuis peu d'ailleurs, qui a bien résisté trois siècles à la ruse et à la hargne des plus grands mathématiciens. Avant d'être prouvé par le brillant Andrew Wiles grâce auquel nous sommes certains aujourd'hui que :  xn + yn = zn est impossible pour tout n > 2. Ouf ça va de suite beaucoup mieux)

    Il y avait d'autres éléments dans le souvenir de Pérec : topologie, ponts de Königsberg et coloriage des cartes, et j'ai fini par trouver. Et on peut dire que ce sont les ponts de Königsberg qui m'ont mis sur la voie.

        EULER ET LES PONTS DE KÖNIGSBERG

        KAZIMIERZ KURATOWSKI ET LES GRAPHES PLANAIRES

        LE COLORIAGE DES CARTES

        POUR CONCLURE

    Et ça! ça fait pas un peu graphe?

 

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