Lorsque je rajoute 50% à une valeur quelconque, j'obtiens 150% , j'en ai donc 1,5 fois plus à l'arrivée. Ça c'est pour les plus récalcitrants.

De même, retirer un pourcentage d'une valeur x, se déduit par le même principe et d'ailleurs c'est compris plus facilement. Faites l'expérience, demandez de retirer 30% d'une valeur, on vous dira qu'il en reste 70%, puis demandez de rajouter 30%, dire que cela fait 130% n'est plus tout aussi naturel, passer la barre des 100, c'est pas très normal tout ça.

-Si je veux retirer 20% de Tartempion, je le multiplie par....

-Par 0,8!

-Très bien et comment as tu trouvé?

-Et bien c'est facile, il reste 80%!

-Oui, mais ton calcul, c'est quoi?

-Et ben....

-Si tu veux rajouter 20%, comment fais-tu pour calculer le coefficient multiplicateur?

-Je fais 100 + 20 et je divise par 100.

-Bien, là tu veux retirer 20%...

-Ah! ben oui, 100 - 20 et je divise par 100.

    Récapitulons :

1. Pour avoir t% de V, on fait : V.(t/100)
2. Pour rajouter t% à V, on fait : V.(100+t)/100
3. Pour retirer t% à V, on fait : V.(100-t)/100

Il a fallu quelques heures de cours, quelques exercices, beaucoup de patience et de compréhension, face à des élèves qui vous disent : "Mais monsieur, c'est plus compliqué que ce qu'on faisait avant."; "Et puis moi j'y arrive à ma façon ,alors à quoi ça sert de changer?" Bref! il faut composer, dire que ça nous servira après ( ce qui est vrai) et qu'il faut donc faire confiance.

Mais alors pourquoi tout ça? Pour trois raisons essentiellement :

1. Parce que la résolution des problèmes simples de pourcentage, sera plus élégante, plus rapide et donc permettra de réduire les risques d'erreurs.
2. Parce que certains problèmes plus compliqués seront résolus beaucoup plus facilement.
3. Enfin, c'est le seul moyen d'aborder une nouvelle notion, encore inconnue au collège.

Conclusions pédagogiques : 

    L'habitude est très puissante, très efficace, mais aussi très exclusive, elle rejète tout ce qui pourrait empiéter sur son territoire et mettre fin à son existence. La plupart des élèves ont abordé les pourcentages à l'école primaire, et ce calcul est devenu chez eux une véritable habitude, une sorte de connaissance sans conscience, un peu comme un réflexe. Cela ne signifie pas qu'ils maîtrisent parfaitement la notion de pourcentage, mais ils effectuent les calculs les plus courants avec une bonne efficacité. L'avantage de l'habitude est qu'elle permet d'aller plus vite, de s'économiser, d'utiliser la réflexion pour des problèmes plus ardus, de la même façon qu'un calcul simple, du style 2 x 3 = 6, est un réflexe, car je ne me dis pas à chaque fois : "2 x 3 = 3 + 3 = 6, donc 2 x 3 = 6." 

    Or pour la plupart des élèves de BEP que j'ai eu jusqu'ici, chasser une habitude pour la remplacer par une autre, devient "Mission Impossible". Pourquoi lâcher et oublier quelque chose qui marche finalement, pour y mettre à la place quelque chose dont je ne maîtrise pas vraiment le fonctionnement? Cela me fait penser aux concepts d'assimilation et d'accommodation de Jean Piaget.

    L'assimilation est le simple fait d'assimiler une nouvelle situation en utilisant les connaissances déjà acquises, c'est un outil important qui permet d'enrichir ses connaissances, mais il n'est pas suffisant pour intégrer de nouveaux concepts, de nouvelles approches. Par exemple, lorsque mon fils était au CP, il maîtrisait assez bien la comptine des nombres, ce qui lui permettait de dénombrer des objets. Mais , sa technique de dénombrement a rapidement posé quelques problèmes. Ainsi pour dénombrer un tas de 5 objets + 3 objets, il fallait qu'il compte jusqu'à cinq sur sa main gauche, et qu'il continue jusqu'à trois sur sa main droite. En effet, il avait le besoin de reprendre la comptine depuis le début : 1,2,3... jusqu'à 8. Comprendre qu'on pouvait commencer à compter sur ses doigts à partir de 6, jusqu'à 8, ne s'est pas fait d'un coup, mais la technique s'est rapidement mise ne place. Je pense qu'il s'agit là d'un cas d'assimilation. Aucun concept nouveau, seulement la comptine des nombres, mais une évolution dans l'approche de l'addition.

    L'accommodation est plus difficile, elle demande plus d'effort, plus de temps aussi. Je reprends l'exemple de mon fils (encore lui). Si au CP il maîtrisait bien la comptine des nombres, le système décimal n'était pas encore intégré, ce qui donnait d'ailleurs quelques dérapages du style : Trente sept, trente huit, trente neuf, trente dix... (logique non?!). Il a fallu faire des tas de 10, puis les compter, et admettre que trois tas de 10 et un tas de 7, ça faisait bien 37, et quatre tas de dix et zéro tas inférieur à dix, ça faisait 40. Le concept de nombre décimal, est quelque chose de totalement nouveau à ce stade, et cela prend du temps.

    Tout être vivant recherche l'efficacité au moindre coût, si le gamin de 6 ou 7 ans, peut faire une multiplication,  alors qu'il ne maîtrise pas encore cette opération, en utilisant l'addition qu'il utilise sans difficulté, il ne cherchera pas à maîtriser cette nouvelle opération, 3 x 5, c'est 5 + 5 + 5, voilà tout. Mais si le calcul devient trop fastidieux, 10 x 8 par exemple, alors la multiplication devient intéressante, et même nécessaire, elle s'impose d'elle même, il y a accommodation.

    Ici, la plupart des élèves que j'ai en cours, doivent réaliser un travail d'accommodation, une sorte de saut qualitatif dans la connaissance, et il faut bien admettre que ce n'est pas facile. Dans tous les cas c'est long, certains d'entre eux, que je retrouve deux ans plus tard en BAC-PRO, admettent enfin que rajouter 20%, c'est multiplier par 1,2 ...etc... Oui, tout de même!...