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Alors évidemment, pour simplifier les choses, il existe
plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations à deux inconnues.
En BEP, nous en abordons trois. Mais pourquoi imposer une telle torture à des
élèves qui le plus souvent ont gardé plutôt de mauvais souvenirs avec les
mathématiques? On va dire que la première méthode permet d'expliquer
(éventuellement, mais son approche reste il est vrai un peu ésotériques pour
quelques uns), et d'amorcer l'étude des fonctions affines, la deuxième est la
préférée des élèves, car elle est très mécanique, la troisième devient
indispensable dans la résolution de problèmes du second degré à deux
inconnues, qui sont abordés( de façon simple) en fin d'année. Donc il n'y a
guère le choix, il faut y passer.
| LA RÉSOLUTION GRAPHIQUE |
| Il s'agit de représenter dans un repère du
plan les deux équations mises en évidence, pour cela il faut les
transformer un peu, calculer deux points pour chacune (une droite
passant toujours par 2 points et une équation du premier degré étant
toujours représentée par une droite... oui encore une longue histoire
à raconter.) Cela donne à peut prés ceci :
x + y =10 devient : y = -x + 10 (voir équations)
42x + 35y = 371, devient : y = (-42x + 371)/35
Ensuite on remplace x par deux valeurs choisies au hasard (allez
faire comprendre ça!) et on obtient deux points :
Pour y = -x + 10, remplaçons x par : 0, puis par 4, on obtient
respectivement : 10 et 6, ce qui donne 2 points de coordonnées (0;10)
et (4;6).
Pour y = (-42x + 371)/35, remplaçons x par : 0, puis par 3, on
obtient respectivement : 10,6 et 3, ce qui donne aussi 2 points de
coordonnées : (0;10,6) et (3;7).
On place ces points dans un repère et on les relie, on obtient alors
ceci :
Remarquons que les deux droites se croisent au point (3;7), c'est à
dire 3 places plein tarif et 7 places à tarif réduit. Il est aisé de
comprendre que si l'on prolonge les droites de part et d'autres, il n'y
aura pas d'autre point d'intersection, donc c'est l'unique solution de
ce problème. |
| RÉSOLUTION PAR ADDITION |
RÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION |
| Il s'agit de multiplier l'une des 2 équations
par un coefficient, puis d'additionner terme à terme, afin de supprimer
l'une des deux variables, x ou y. Ensuite on résout une équation du
premier degré à une inconnue.
(x + y = 10).(-42)
42x + 35y = 371
On décide ici de multiplier la première équation par -42, ce qui
va faire disparaître les x.
-42x - 42y = -420
+ 42x + 35 y = 371
0x
-7y = -49
Donc -7y = -49, et y = (-49)/(-7)
Soit y = 7, on en déduit que x = 3 (10places au total) |
Substituer, consiste à mettre une
des deux variables, x ou y en évidence (d'un côté du égal) et
substituer (remplacer) cette variable dans l'autre équation par cette
nouvelle égalité.
x + y = 10 devient y = -x + 10
On remplace le y de la seconde équation par -x + 10, puisque c'est
aussi la valeur de y.
Soit : 42x + 35(-x + 10) = 371, on développe et on résout comme une
équation du premier degré à une inconnue.
42x -35x + 350 = 371
7x + 350 - 371 = 0
7x - 21 = 0
7x = 21 donc x = 21/7 soit x = 3, donc y = 7 |
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